复变函数学习笔记（一）：复数、辐角与欧拉公式

本文由个人课堂笔记整理，重点是「可快速回看」而不是完整教材推导。

前置知识#

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)

\text{当 } \theta = \pi \text{ 时，} e^{i\pi} + 1 = 0

这里可以联想到 $\theta$ 的几何意义：旋转角度。

把 $3 + 4i$ 看作点 $(3,4)$ ，即把复数与平面向量对应起来。

设 $z = 3 + 4i$ ，则 $\bar{z} = 3 - 4i$ 。

常用结论：

$z + \bar{z} = 2\operatorname{Re}z$
$z - \bar{z} = 2i\operatorname{Im}z$
$z \cdot \bar{z} = |z|^2$
$\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2,\quad \overline{z_1 - z_2} = \bar{z}_1 - \bar{z}_2$
$\overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \bar{z}_2,\quad \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2} \quad (z_2 \neq 0)$

主辐角记作 $\arg z$ ，满足 $\arg z \in (-\pi,\pi]$ ，并且唯一。

若 $z = x + yi$ ，主辐角可按象限计算：

辐角记作 $\operatorname{Arg}z$ ，满足：

\operatorname{Arg}z = \arg z + 2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}

所以辐角不唯一。

\begin{cases} \text{代数形式：}x + yi \\ \text{三角形式：}r(\cos\theta + i\sin\theta) \\ \text{指数形式：}re^{i\theta} \end{cases}

其中 $r$ 是模长， $\theta$ 是辐角。

核心规则：模长相乘（或相除），辐角相加（或相减）。

r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}

\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)} \quad (r_2 \neq 0)

z^n = r^n e^{in\theta} = r^n\bigl(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\bigr)

(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)

复数开 $n$ 次方一般有 $n$ 个解：

z^{1/n} = r^{1/n} e^{i(\theta + 2k\pi)/n},\quad k = 0,1,\dots,n-1